5 comentarios el “048: 34000X 224LC 0A2/3/4A

  1. Resolviendo un problema de desigualdades geométricas encontré un teorema interesente, que quisiera compartir.
    Dado un triángulo ABC de incentro I y un punto P interior y diferente de I tal que AP=x, BP=y , CP=z. Se cumple:
    a(x^2)+b(y^2)+c(z^2)=(IP^2)(a+b+c)+abc,
    siendo a, b y c las longitudes de los lados del triángulo.

    *Si P fuese el circuncentro d el triángulo (IP^2=R(R-2r)->teorema de euler), se obtendría 2Rr=abc/(a+b+c) , de donde r es el inradio

    *Si P fuese el baricentro del triángulo, se obtendría:
    (a^2+b^2+c^2)/3 =(IP^2)(a+b+c)+abc

  2. Es bueno ver que los alumnos muestran un gran interés por la geometría y eso es muy reconfortante. Por otro lado cabe indicar que el problema es parte de un problema genérico el cual será enunciado a continuación.
    En el triángulo ABC, la m<BAC = α+r y m<BCA = α+2r. Se traza la ceviana interior de modo que BD =AC y la m<CBD=α, se cumple que la m<ABD=r.
    SOLUCIÓN
    Se prolonga AC hasta P, de modo que m<CBP=r, entonces la m<BPC=α+r, de donde BD=DP, por lo cual AD=CP, asi como AB=BP, con lo cual △BAD ≌ △BPC (LAL)
    ∴m<ABD=r.

    NOTA
    De los datos inciales notamos que las medidas de los ángulos dados forman una progresión aritmetica de razón r.Si utilizamos esta observación en el problema dado notariamos que r= α y de esa forma el problema estaría resuelto.
    Saludos;

  3. Prolongamos \overline{AC} hasta un punto P de modo que BA = BP, de allí el ángulo CBP mide \alpha, entonces DB = DP, y AD = CP, luego los triángulos ABD y PBC son congruentes L.A.L. Entonces el ángulo ABD debe medir \alpha, sumando los ángulo en el triángulo ABC, tenemos que10\alpha =180º, por lo tanto \alpha = 18º

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